산술평균 기하평균 조화평균

This entry is part 1 of 9 in the series 딥러닝 핵심 개념

1. 들어가며

이번 글에서는 평균이라는 개념에 대해 깊이 있게 다뤄봅니다. 평균에는 다양한 종류가 있습니다. 각각의 평균은 특정 상황에서 그 중요성을 발휘합니다. 이 글을 통해 산술 평균, 기하 평균, 그리고 조화 평균에 대한 이해를 높이고, 각각의 평균이 어떤 상황에서 유용하게 쓰이는지, 그리고 그것이 왜 중요한지 이해해 보겠습니다.

본문에서는 산술 평균을 설명하기 위해 시험 성적의 평균을 구하는 실생활 사례를 들어 설명합니다. 기하 평균의 경우에는 주식 투자의 수익률을 구하는 과정을 통해 그 중요성과 활용성을 알아보겠습니다. 이를 응용하여 주식 투자를 잘하기 위한 팁까지도 공유합니다. 조화 평균을 설명하기 위해서는 달리기 시합에서의 평균 속도를 구하는 사례를 통해 그 의미를 살펴보겠습니다. 또한, 각 평균의 의미와 유래에 대해서도 자세히 알아보겠습니다.

이 글을 통해 평균이 단순한 숫자를 넘어서 어떻게 다양한 분야에서 활용되고 있는지, 그리고 그것이 왜 중요한지 이해해보겠습니다. 특히, 산술, 기하, 조화 평균은 딥러닝과 AI를 공부하는 데에 있어서 가장 자주 나오는 개념 중 하나입니다. 따라서 딥러닝과 AI를 이해하기 위해서는 이러한 평균 개념을 꼭 완벽하게 이해해야 합니다. 이 글을 통해 평균에 대한 새로운 시각과 이해를 얻길 바랍니다.

2. 산술평균

2-1. 산술평균 예시

중간고사를 봤다고 생각해 보겠습니다. 수학은 100점을 받았고, 영어는 60점을 받았습니다. 이때 두 과목의 평균 점수는 몇 점일까요?

평균 점수 구하기
그림1. 평균 점수 구하기

두 과목 점수를 더한 뒤 2로 나눠주면 평균 점수를 구할 수 있습니다.

2-2. 산술평균 의미

이때 ‘평균 점수’인 80점은 무엇을 의미할까요? ‘수학을 100점, 영어를 60점 받은 총점은 수학을 80점, 영어를 80점 받았을 때의 총점과 같다’라는 의미입니다. 즉 두 과목의 점수 총합을 대표할 수 있는 하나의 점수를 말하죠. 이렇게 평소에 우리가 사용하는 ‘평균’은 산술평균을 의미합니다. 산술평균값은 두 값을 더한 뒤 개수로 나눠서 구합니다.

산술평균 수식
그림2. 산술 평균 구하기

3. 기하평균

3-1. 기하평균 예시

이번에는 성격이 조금 다른 예시를 생각해 보겠습니다. 2년간 주식투자를 했다고 상상해 보겠습니다. 2020년부터 1억 원을 가지고 주식투자를 할 겁니다. 첫 해에는 10%의 수익이 나서 2021년 자산가치는 1.1억이 되었습니다. 두 번째 해에는 50%의 수익이 나서 2022년 자산가치는 1.65억이 되었다고 가정하겠습니다.

주식투자 주식률 예시
그림3. 주식투자

이때의 평균 수익률은 얼마일까요? 첫 해의 수익률은 10%이고, 두 번째 해의 수익률은 50%였으니 평균 수익률은 30%일까요? 평균 수익률이 30%라고 가정하고 계산을 해보죠. 그 결과 오른쪽 그래프와 같이 2022년의 자산가치는 1.65억 원이 아닌 그보다 조금 더 많은 1.69억 원이 나옵니다.

산술평균으로 평균 투자 수익률 구하기
그림4. 산술평균으로 평균 투자 수익률 구하기

주식 투자 평균 수익률은 산술평균으로는 구할 수 없군요. 산술평균이 안된다면 어떻게 평균 수익률을 구해야 할까요?

먼저 이 부분을 고민해봐야 합니다. 주식 투자 평균 수익률은 정확히 무엇을 의미하나요? 매년 얼마 큼의 동일한 수익률을 내야 지금의 자산가치가 되는지를 의미합니다. 2021년의 자산가치는 2020년의 자산가치에 수익률을 곱해서 구합니다. 2022년의 자산가치는 다시 2021년의 자산가치에 수익률을 곱해서 구해주죠. 결국 2022년의 자산가치란 2020년의 자산가치에 2020년의 수익률과 2021년의 수익률의 곳입니다.

최종 자산 가치
그림5. 최종 자산 가치

위의 예시에서는 2년 연속 28.5% 수익을 냈을 때 자산가치가 1.65억 원이 됨을 알 수 있습니다.

5.기하평균으로 평균 투자 수익률 구하기
그림6. 기하평균으로 평균 투자 수익률 구하기

3-2. 기하평균 의미

이 부분이 결정적으로 산술평균과 기하평균이 다른 점입니다. 산술평균은 최종 가치가 모든 정보의 합으로 표현되었죠. 산술평균 예시로 든 시험 점수의 총합은 모든 시험 점수의 합으로 표현되는 것처럼요. 하지만 자산가치 같은 경우는 매해 수익률의 곲으로 표현됩니다. 따라서 기하평균이란 ‘무엇을 n번 곱했을 때 이 값들의 값과 같아지는가?’라는 의미입니다. 기하평균은 수익률처럼 연속적으로 이전 값에 영향을 주며 변하는 속성의 평균을 구할 때 사용합니다.

기하평균은 다음과 같이 구합니다.

기하평균 수식
그림7. 기하평균 구하기

3-3. 기하평균 유래

기하평균이라는 이름은 기하의 비례식에서 유래했습니다.

기하평균 유래
그림8. 기하평균 유래

위의 그림처럼 반원에서 그려진 직각 삼각형을 생각해 보겠습니다. 이때 직각 B에서 선분 AC에 수직으로 내린 발을 H라고 하겠습니다. 이때 a, b, c는 다음과 같은 성질을 만족합니다.

기하평균 값
그림9. 기하평균 값

이때의 c가 a, b의 기하평균에 해당합니다.

3-4. 기하평균과 주식투자의 지혜

여담으로, 위의 기하평균 그림으로부터 주식투자의 지혜를 얻을 수 있습니다. 한 번의 큰 수익률을 내는 것보다 작더라도 일정한 수익률을 꾸준히 유지하는 것이 중요하다는 것입니다. 후자의 경우가 최종 수익률이 더 크죠. 주식 투자의 최종 수익률은 산술평균이 아닌 기하평균이 적용되기 때문입니다. 이는 기하평균의 유래가 된 반원을 생각해 보면 이해할 수 있습니다.

주식투자와 기하평균
그림10. 주식투자와 기하평균

위 그림의 두 개 반원을 비교해 보겠습니다. 두 반원의 크기는 같습니다. 즉 a+b의 값은 두 반원에서 모두 동일합니다. a, b를 첫 해와 두 번째 해의 수익률이라고 생각해 보겠습니다. 이를 주식투자 상황으로 상상해 보면 이런 상황이겠네요. 왼쪽 반원은 첫해 1%의 수익률을, 다음 해에 9%의 수익률을 낸 상황입니다. 오른쪽 반원은 첫해 5%, 다음 해에도 5%의 수익률을 낸 상황입니다. 두 상황 모두 산술평균 수익률은 5%로 동일하죠.

두 상황의 최종 평균 수익률도 동일할까요? 최종 평균 수익률 (a, b의 기하 평균)은 위 반원의 c에 해당합니다. 두 반원의 c 중 어느 쪽이 더 큰가요? 오른쪽 반원의 c가 더 큰 걸 알 수 있습니다. 뿐만 아니라 a와 b가 같을 때 c값이 가장 크다는 것을 알 수 있죠.

즉, 평균 수익률을 높이기 위해서는 편차가 크지 않은 수익률을 유지하는 게 유리합니다. 투자의 대가들이 변동성을 줄이는 것이 가장 중요하다고 강조하는 이유죠.

4. 조화평균

4-1. 조화평균 예시

이번에는 또 다른 성격의 예시를 들어보겠습니다. 달리기 시합을 한다고 상상해 볼게요. 반환점을 돌아 출발점까지 돌아오는 달리기를 할 겁니다. 갈 때는 10m/s의 속도로 뛸 겁니다. 반환점을 돌고 나서는 전속력인 20m/s로 뛰어서 돌아왔다고 가정해 볼게요.

달리기 시합에서 평균 속도 구하기
그림11. 달리기 시합

이때의 ‘평균 속도’는 얼마일까요? 갈 때는 10m/s, 올 때는 20m/s였으니 평균 속도는 15m/s일까요? 만약 평균 속도가 15m/s라면 앞의 경우와 도착할 때까지 걸린 시간이 동일해야겠죠? 그럼 두 경우의 시간이 동일한지 계산해 보겠습니다. 시간은 거리를 속도로 나눈 값이니, 각각 계산해 보면 다음과 같습니다.

걸린 시간 구하기
그림12. 걸린 시간 구하기

위 그림의 오른쪽을 보면 두 경우의 시간이 동일하지 않다는 걸 알 수 있습니다. 평균 속도는 산술평균으로는 구할 수 없군요.

그럼 평균 속도는 어떻게 구할까요? 이번에도 마찬가지로 평균 속도의 의미부터 정리해야 합니다. ‘평균 속도’라는 말은 ‘이 속도로 계속 뛰면 원래 경우와 같은 시간이 걸렸을 거야’라는 의미입니다. 그럼 원래 걸렸던 시간과 평균 속도로 뛰었을 때 걸린 시간이 같아야겠군요. 따라서 다음 식이 성립해야 합니다.

평균 시간 수식
그림13. 평균 시간 식
  • tm : 평균 시간
  • tA : 갈 때 걸린 시간
  • tB : 올 때 걸린 시간

시간은 거리를 속도로 나눈 값이죠. 거리는 모든 경우에 동일하니 1이라고 하면 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

속도로 표현한 수식
그림14. 속도로 표현
  • vm : 평균 속도
  • vA : 갈 때 속도
  • vB : 올 때 속도

평균 속도로 식을 정리해 주면 다음과 같습니다.

평균 속도 수식
그림15. 평균 속도

4-2. 조화평균 의미

평균 속도를 구하는 위와 같은 방식을 ‘조화평균’이라고 합니다. 조화평균은 ‘해당 특성의 역수들끼리 산술평균을 이룰 때’ 사용합니다. 속도의 역수인 시간이 산술평균을 만족한 것처럼요.

4-3. 조화평균 유래

조화평균 이름은 음악의 화음 (harmony, 조화)에서 유래했습니다. 현악기의 음색은 현의 진동수에 따라 변합니다. 그리고 현의 진동수는 현의 길이에 반비례하죠. 즉 탄성이 동일한 현이라면 현이 길수록 낮은 음의 소리가, 현이 짧을수록 높은 음의 소리가 납니다. 현의 길이가 각각 10,20인 현악기 둘을 동시에 연주한다고 가정해 보겠습니다. 이 둘이 내는 소리의 음은 현의 길이가 몇 인 현악기가 내는 음과 가장 유사할까요? 이를 수식으로 표현하면 이렇습니다.

두 현악기를 합친 음 찾기
그림16. 두 현악기를 합친 음 찾기
  • fm : 평균 진동수
  • f10 : 현의 길이 10의 진동수
  • f20 : 현의 길이 20의 진동수

진동수는 현 길이의 역수에 비례하므로, 다음 식으로 바꿀 수 있습니다.

현의 길이로 표현
그림17. 현의 길이로 표현
  • lm : 평균 현의 길이
  • l10 : 길이 10의 현
  • l20 : 길이 20의 현

따라서 평균 현의 길이는 다음과 같이 표현됩니다.

평균 현의 길이
그림18. 평균 현의 길이

어떤가요? 평균 속도를 구하는 식과 똑같죠?

4. 마무리

지금까지 평균의 세 가지 주요 형태인 산술 평균, 기하 평균, 그리고 조화 평균에 대해 깊이 있게 알아보았습니다. 산술 평균은 우리가 일상에서 가장 흔히 접하는 평균으로, 여러 값들의 합을 그 개수로 나누어 구합니다. 이를 통해 시험 성적의 평균 점수와 같은 일상적인 상황에서의 평균 값을 쉽게 이해할 수 있었습니다.

기하 평균은 여러 값들의 곱을 그 값들의 개수로 제곱근하여 구하며, 주식 투자의 수익률과 같은 연속적인 성장률을 평가할 때 중요한 역할을 합니다. 조화 평균은 달리기 시합에서의 평균 속도와 같이, 특정한 상황에서의 평균 값을 구할 때 사용됩니다. 조화 평균은 여러 값들의 역수의 합의 역수로 구해집니다.

마지막으로, 이 세 가지 평균은 각각의 특징과 활용성을 가지고 있습니다. 따라서 특정 상황에 가장 적합한 평균을 선택하여 사용하는 것이 중요합니다. 이 글을 통해 각 평균의 의미와 활용 방법에 대한 깊은 이해를 얻으셨기를 바랍니다. 평균에 대한 이해는 여러분의 학문적 지식뿐만 아니라 일상생활에서도 큰 도움이 될 것입니다.

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