[19′ Journal of computational Physics] Physics-Informed Neural Networks: A Deep LearningFramework for Solving Forward and Inverse ProblemsInvolving Nonlinear Partial Differential Equations

1. 들어가며

딥러닝은 최근 다양한 분야에서 혁신적인 성과를 만들어내고 있지만, 물리 기반 문제를 해결하는 데에는 몇 가지 한계를 가지고 있습니다. 기존의 데이터 기반 신경망 모델은 주어진 데이터에서 패턴을 학습하는 방식이기 때문에, 물리 법칙을 따르는 현상을 정확하게 모델링하기 어렵다는 문제가 있습니다. 특히, 실험 데이터를 충분히 확보하기 어려운 경우 일반적인 신경망 모델은 신뢰할 수 있는 결과를 내기 힘듭니다.

이번 포스팅에서는 이러한 한계를 극복하기 위해 제안된 Physics-Informed Neural Networks(PINNs) 논문을 살펴보려고 합니다. PINN은 기존 신경망에 물리 법칙을 직접 학습하는 구조를 추가한 새로운 접근 방식입니다. 기존의 데이터 기반 모델과 달리, PINN은 편미분방정식(PDE, Partial Differential Equations) 같은 물리 법칙을 손실 함수에 포함하여 학습합니다. 이를 통해 데이터가 부족한 상황에서도 일반화 성능이 뛰어나며, 기존 수치 해석 방법과 신경망 모델의 장점을 결합할 수 있습니다.

이번 논문 리뷰에서는 PINN의 핵심 개념과 학습 방법을 살펴보고, 논문에서 수행한 실험을 통해 PINN이 실제로 얼마나 효과적인지 검증해보겠습니다. 또한, PINN이 기존 신경망 모델과 비교했을 때 어떤 차별점을 가지는지, 그리고 어떤 분야에서 활용될 수 있을지에 대해서도 논의해보겠습니다.

최대한 수식은 제외하고 PINN의 핵심 아이디어 위주로 같이 이해해 봅시다!

2. 기존 방법의 문제점

딥러닝은 최근 다양한 분야에서 놀라운 성과를 보여주고 있지만, 순수한 데이터 기반 학습(Data-Driven Deep Neural Networks) 방식은 여전히 몇 가지 한계를 가지고 있습니다. 특히, 물리적 시스템을 모델링할 때 기존의 딥러닝 방법은 물리 법칙을 제대로 반영하지 못한다는 점에서 한계를 보입니다. 이번 챕터에서는 기존 방법이 갖는 주요 문제점을 살펴보겠습니다.

2-1) 데이터가 부족한 환경에서의 일반화 문제

딥러닝 모델이 높은 성능을 내기 위해서는 일반적으로 대량의 데이터가 필요합니다. 하지만 현실에서 물리 시스템을 다룰 때는 실험 데이터를 충분히 확보하기 어려운 경우가 많습니다. 예를 들어, 유체역학이나 재료역학과 같은 분야에서는 실험 비용이 높거나, 데이터를 얻는 데 많은 시간이 걸릴 수 있습니다.

이러한 소규모 데이터 환경(small data regime)에서 기존의 데이터 기반 신경망은 일반화 능력이 부족하여 과적합(overfitting) 문제가 발생하기 쉽습니다. 주어진 데이터에서만 좋은 성능을 보일 뿐, 새로운 데이터에 대해서는 예측력이 크게 저하될 수 있습니다. 이는 신경망이 물리적 원리를 이해하는 것이 아니라, 단순히 데이터 분포를 외우는 데 그치기 때문입니다.

2-2) 물리적 법칙을 반영하지 못하는 문제

딥러닝 모델은 대체로 입력과 출력 사이의 관계를 학습하지만, 그 과정에서 물리적 법칙(physical laws)을 고려하지 않습니다. 이는 다음과 같은 문제를 초래할 수 있습니다.

1. 비현실적인 결과 도출:
예를 들어, 유체의 흐름을 예측하는 신경망이 연속 방정식(continuity equation)을 만족하지 않는 경우, 실제로 존재할 수 없는 흐름을 예측할 가능성이 있습니다.

2. 물리적으로 의미 없는 함수 근사:
신경망이 특정 함수 형태를 학습하더라도, 그것이 실제 물리 시스템에서 기대되는 수식과 다를 수 있습니다. 즉, 모델이 “옳은 답”을 찾았다 하더라도 그 해석이 불가능할 수 있습니다.

이러한 문제를 해결하려면, 물리 시스템을 설명하는 미분 방정식(partial differential equations, PDEs)과 같은 정보를 학습 과정에서 활용해야 합니다. 하지만 기존의 신경망 모델은 이러한 정보 없이 단순한 데이터 매핑에 의존하기 때문에 물리적 해석력이 부족할 수밖에 없습니다.

2-3) 신뢰성 있는 예측이 어려움

기존의 데이터 기반 신경망 모델은 결과에 대한 신뢰도를 평가하는 기능이 부족합니다. 즉, 모델이 특정 입력에 대해 예측을 했을 때, 그것이 얼마나 신뢰할 수 있는지 판단하기 어렵습니다.

일반적인 물리 모델(예: 유한 요소 해석, 유체 시뮬레이션 등)은 물리적 법칙을 따르기 때문에, 적절한 수치 해석 기법을 적용하면 오차 범위를 추정할 수 있습니다. 반면, 신경망은 데이터에 의해 학습되기 때문에 훈련되지 않은 영역에서 예측이 불확실해지며, 때로는 전혀 엉뚱한 결과를 도출하기도 합니다. 이러한 신뢰성 부족 문제는 실제 공학적 적용에서 매우 중요한 단점이 될 수 있습니다.

2-4) 해석 가능성 부족 (Interpretability 문제)

딥러닝 모델은 높은 표현력을 가지지만, 동시에 “블랙박스 모델(Black-box model)”이라는 한계를 가집니다. 이는 모델이 특정한 결론을 도출하는 과정이 직관적으로 해석되기 어렵다는 것을 의미합니다.

예를 들어, 어떤 신경망이 유체 흐름을 예측한다고 가정해봅시다. 이 모델이 특정한 유동 패턴을 예측했다고 할 때, 우리는 왜 이런 결과가 나왔는지 이해하기 어렵습니다.
기존 물리 기반 시뮬레이션은 방정식을 기반으로 결과를 도출하기 때문에, 각 변수의 역할을 명확하게 해석할 수 있습니다. 반면, 기존의 데이터 기반 신경망은 단순한 패턴 매칭이므로, 모델 내부에서 어떤 물리적 원리가 작용했는지를 분석하는 것이 어렵습니다.

2-5) 계산 효율성 문제

기존의 딥러닝 모델은 대규모 데이터를 기반으로 학습되며, 많은 연산 자원을 필요로 합니다. 특히, 시뮬레이션 데이터를 활용해 학습하는 경우, 데이터 양이 방대하여 학습 시간이 오래 걸리고, GPU/TPU와 같은 고성능 연산 장비가 필요합니다.

또한, 기존 신경망은 미분 방정식을 직접 풀지 못하기 때문에, 데이터가 충분하지 않으면 학습된 모델이 수치적 해석 방법보다도 성능이 떨어지는 경우가 많습니다. 반면, PINN은 물리 방정식을 직접 학습 과정에 포함하기 때문에 적은 데이터로도 더 효율적인 학습이 가능합니다.

3. 제안 방법 : PINN

기존의 순수 데이터 기반 신경망은 물리적 법칙을 반영하지 못해 현실적인 문제를 해결하는 데 한계가 있었습니다. 이러한 문제를 극복하기 위해 Physics-Informed Neural Networks(PINNs)이 제안되었습니다. PINN은 신경망 학습 과정에서 물리 법칙을 직접 반영하여 더 적은 데이터로도 높은 일반화 성능을 보이며, 해석 가능성까지 갖춘 딥러닝 모델입니다. 이번 챕터에서는 PINN의 핵심 개념과 학습 방식에 대해 살펴보겠습니다.

3-1) PINN이란

PINN(Physics-Informed Neural Networks)은 물리 법칙을 학습 과정에 반영하는 신경망입니다. 일반적인 딥러닝 모델은 데이터만을 기반으로 관계를 학습하지만, PINN은 데이터뿐만 아니라 편미분방정식(Partial Differential Equations, PDEs) 같은 물리적 제약 조건을 함께 고려하여 학습됩니다.

기존의 신경망과 PINN의 차이점을 비교해보면 다음과 같습니다.

이러한 PINN의 핵심 아이디어는 기존의 물리 기반 수치 해석 기법과 데이터 기반 딥러닝 기법을 결합하여 “데이터 효율적인 딥러닝 모델”을 만드는 것입니다.

2) PINN의 학습 방식: 물리 법칙을 손실 함수에 반영

말이 좀 어려웠는데요. 사실 PINN의 핵심 아이디어와 구현 방법은 굉장히 심플합니다. 예를 들어서 한번 생각해볼게요. x,t를 입력받아 u라는 값을 예측하는 모델을 생각해봅시다. 기존 순수 data driven 방식의 deep neural network라는건 이렇게 구성되잖아요.

모델이 예측한 값을 u^이라고 하구요, Ground Truth를 U라고 하면 위와 같이 두 값의 차이를 줄이는 방향으로 학습하게 되죠. PINN이 제기하는 의문은, 우리가 줄 수 있는 정보가 이것밖에 없을까? 우리가 x,t,u 간의 관계를 모른다면 어쩔 수 없이 데이터를 많이 주고 모델이 함수를 찾게 해야겠지만, 우리가 x,t,u 간의 관계를 즉 PDE 관계를 알고 있다면 이 함수를 직접 모델에게 알려주며 학습할 수 있지 않을까? 하는 아이디어인거죠.

그래서 PINN이 제안하는 방법은 아래 그림과 같습니다.

예를 들어 u=xt라는 함수를 모델이 학습하고 싶다고 가정해보자구요. 그럼 기존 data driven 모델이라면 u=xt에서 샘플링된 데이터만을 가지고 MSE 등의 loss로 학습할거에요. 위 그림에서 1번 식에 해당하죠.

그런데 우리가 u와 x와의 편미분 관계, 그리고 u와 t와의 편미분 관계를 알고 있다면, (물리화학 문제 등에서는 실제로 알고 있는 경우가 많죠) 이걸 쓰고 싶다는거에요! 그래서 위 그림의 2번, 3번 식과 같이 편미분 방정식으로 loss를 구성해주자는거죠. 이들을 위 그림에서는 physics loss라고 표현해주었어요.

그럼 최종적으로 모델이 학습하는 loss는 data에서 나온 loss와 편미분 방정식에서 나온 loss를 모두 갖게 되고, 그럼 추가 정보가 입력되었으니 더 잘하겠지! 라는 아이디어라고 이해할 수 있습니다.

3) 파이썬 코드로 PINN 구현하기

이제 PINN이 어떻게 작동하는지 보다 직관적으로 이해할 수 있도록, 간단한 파이썬 코드 예제를 통해 직접 구현해보겠습니다. PINN을 구현하는 핵심 요소는 크게 두 가지입니다.
첫째, PINN Network를 정의하여 신경망이 미분 방정식을 만족하도록 학습할 수 있게 구성합니다.
둘째, Train 함수를 작성하여 데이터 손실과 물리 손실을 함께 최적화하는 방식으로 학습을 진행합니다.

① PINN Network 클래스 구현

먼저, PyTorch를 사용하여 PINN 네트워크를 구현해보겠습니다. 기본적으로 MLP(다층 퍼셉트론) 구조를 사용하여 PDE의 해를 근사하도록 설계합니다. 중요한 점은 순전파(forward pass) 과정에서 자동 미분(Automatic Differentiation, AD)을 활용하여 PDE의 미분식을 계산하는 것입니다.

import torch
import torch.nn as nn
import torch.autograd as autograd

class PINN(nn.Module):
    def __init__(self, input_dim=2, hidden_dim=50, output_dim=1, num_layers=3):
        super(PINN, self).__init__()
        
        layers = []
        layers.append(nn.Linear(input_dim, hidden_dim))
        layers.append(nn.Tanh())  # 비선형 활성화 함수
        
        for _ in range(num_layers - 1):
            layers.append(nn.Linear(hidden_dim, hidden_dim))
            layers.append(nn.Tanh())
        
        layers.append(nn.Linear(hidden_dim, output_dim))  # 최종 출력
        
        self.network = nn.Sequential(*layers)

    def forward(self, x):
        return self.network(x)

    def compute_pde_loss(self, x):
        """물리 법칙을 반영한 손실 함수 계산 (예: Burgers 방정식)"""
        x.requires_grad = True  # 자동 미분을 위해 필요
        u = self.forward(x)  # 신경망 예측 값

        # 미분 계산 (Autograd 활용)
        u_x = autograd.grad(u, x, grad_outputs=torch.ones_like(u), create_graph=True)[0]
        u_xx = autograd.grad(u_x, x, grad_outputs=torch.ones_like(u_x), create_graph=True)[0]
        
        # PDE Residual (예: u_t + u * u_x - (0.01 / pi) * u_xx = 0)
        residual = u_x + u * u_x - (0.01 / torch.pi) * u_xx
        physics_loss = torch.mean(residual**2)
        
        return physics_loss

위 코드에서 PINN 클래스는 입력을 받아 신경망을 통해 출력을 계산하는 MLP 구조입니다. 네트워크는 여러 개의 Fully Connected Layer와 Tanh() 활성화 함수로 구성되어 있으며, 최종적으로 PDE의 해를 근사하는 역할을 합니다. 중요한 점은 compute_pde_loss() 함수입니다. 이 함수는 물리 방정식을 만족하도록 손실을 계산하는 역할을 합니다.

구체적으로 보면, 먼저 x.requires_grad = True를 설정하여 PyTorch의 자동 미분 기능을 활성화합니다. 이후 신경망의 예측값 u = self.forward(x)를 계산한 뒤, PyTorch의 autograd.grad() 함수를 이용해 1차 미분(u_x)과 2차 미분(u_xx)을 계산합니다. 이렇게 구한 미분 값을 PDE에 대입하여 residual을 계산하고, 그 제곱의 평균을 구해 손실로 사용합니다. 결국 이 손실을 최소화하는 방향으로 학습이 진행되므로, 신경망이 PDE를 만족하는 방향으로 조정됩니다.

② PINN 학습 함수 구현

이제 PINN 네트워크를 학습시키는 train_pinn 함수를 작성해보겠습니다. 이 함수는 두 가지 손실을 동시에 최소화합니다. 첫째는 데이터 손실로, 실제 데이터와 예측값 사이의 차이를 줄이는 역할을 합니다. 둘째는 물리 법칙 손실로, 신경망이 PDE를 최대한 만족하도록 유도합니다.

def train_pinn(model, optimizer, x_train, u_train, x_physics, epochs=5000):
    criterion = nn.MSELoss()  # 데이터 손실용 MSE Loss
    
    for epoch in range(epochs):
        optimizer.zero_grad()
        
        # 데이터 손실 (측정된 데이터가 있는 경우)
        u_pred = model(x_train)
        data_loss = criterion(u_pred, u_train)

        # 물리 법칙 손실 (PINN의 핵심 부분)
        physics_loss = model.compute_pde_loss(x_physics)

        # 총 손실 함수
        loss = data_loss + physics_loss
        loss.backward()
        optimizer.step()
        
        # 500번마다 로그 출력
        if epoch % 500 == 0:
            print(f"Epoch {epoch}: Data Loss = {data_loss.item():.6f}, Physics Loss = {physics_loss.item():.6f}, Total Loss = {loss.item():.6f}")

# 예제 데이터 (x_train: 학습 데이터, x_physics: PDE를 적용할 물리적 범위의 점들)
x_train = torch.linspace(-1, 1, 100).view(-1, 1)  # 학습 데이터
u_train = torch.sin(torch.pi * x_train)  # 예제 정답 데이터

x_physics = torch.linspace(-1, 1, 200).view(-1, 1)  # 물리 방정식 제약을 적용할 점들

# 모델 및 옵티마이저 설정
pinn_model = PINN(input_dim=1, hidden_dim=50, output_dim=1, num_layers=3)
optimizer = torch.optim.Adam(pinn_model.parameters(), lr=0.001)

# 학습 수행
train_pinn(pinn_model, optimizer, x_train, u_train, x_physics)

위 코드에서 train_pinn() 함수는 주어진 데이터를 사용해 PINN 모델을 학습하는 역할을 합니다. 먼저 optimizer.zero_grad()를 호출하여 이전 스텝의 그래디언트를 초기화한 뒤, model(x_train)을 통해 예측값을 얻고 MSELoss() 함수를 사용하여 데이터 손실을 계산합니다.

다음으로, compute_pde_loss(x_physics)를 호출하여 물리 방정식의 잔차를 계산하고, 이를 물리 손실로 사용합니다. 최종적으로 loss = data_loss + physics_loss를 통해 두 손실을 더한 후 loss.backward()로 그래디언트를 계산하고, optimizer.step()을 호출하여 네트워크 가중치를 업데이트합니다.

학습이 진행될수록 데이터 손실과 물리 손실이 점점 줄어들며, 신경망이 PDE를 만족하는 방향으로 최적화됩니다. 이를 통해 데이터가 부족하더라도 물리 법칙을 활용하여 정확한 해를 근사할 수 있는 모델이 학습됩니다.

4. 실험 결과

지금까지 PINN이 기존 딥러닝 모델과 어떤 차이가 있는지, 그리고 어떻게 물리 법칙을 학습하는지 살펴봤습니다. 이제 논문에서 수행한 실험을 통해 PINN이 실제로 얼마나 효과적인지 확인해보겠습니다. 논문에서는 PINN을 적용한 여러 가지 실험을 수행했으며, 크게 세 가지로 나눌 수 있습니다.

1. 연속 시간 모델(Continuous Time Models) 실험
2. 이산 시간 모델(Discrete Time Models) 실험
3. 물리 방정식 발견(Data-Driven Discovery of PDEs) 실험

각 실험에서는 PINN이 물리 방정식을 얼마나 정확하게 해결할 수 있는지 기존 방법들과 비교했고, 그 결과를 Figure 및 Table로 정리하였습니다. 이제 하나씩 살펴보겠습니다.

4-1. 연속 시간 모델(Continuous Time Models) 실험

먼저 연속 시간 모델 실험입니다. 여기서는 PINN이 시간에 따라 연속적으로 변화하는 편미분방정식(PDE)을 얼마나 정확하게 해결할 수 있는지 평가합니다. 대표적인 예제로 Allen-Cahn 방정식을 사용하였습니다.

Allen-Cahn 방정식은 상전이(Phase Transition) 문제에서 자주 등장하는 방정식이며, 특정한 시간과 공간에서 급격한 변화를 보이는 특징이 있습니다. 이러한 문제를 정확하게 해결하기 위해서는 고해상도의 격자(grid) 또는 물리 법칙을 반영한 모델이 필요합니다.

논문에서는 PINN이 Allen-Cahn 방정식의 해를 얼마나 잘 근사할 수 있는지 실험을 진행하였으며, 그 결과는 Figure 2에 정리되어 있습니다.

실험 결과를 보면, PINN은 데이터가 적더라도 PDE의 물리 법칙을 이용하여 정확한 해를 찾을 수 있었습니다. 특히, 시간 변화에 따른 해의 패턴을 기존 수치 해석 방법과 비교했을 때 유사한 결과를 보였으며, 이를 통해 PINN이 연속 시간 모델을 효과적으로 학습할 수 있음을 확인하였습니다.

4-2. 이산 시간 모델(Discrete Time Models) 실험

다음은 이산 시간 모델 실험입니다. 연속 시간 모델과 달리, 이산 시간 모델에서는 시간축을 연속적으로 다루는 것이 아니라 특정한 시간 간격을 두고 해결해야 하는 문제를 다룹니다. 대표적인 실험으로는 Burgers 방정식이 사용되었습니다.

Burgers 방정식은 유체 역학에서 자주 등장하는 방정식으로, 충격파(shock wave) 같은 비선형적인 거동을 포함하고 있습니다. 이러한 특성 때문에 일반적인 신경망으로는 학습하기 어려운 문제입니다. 논문에서는 PINN이 이 방정식을 얼마나 잘 해결하는지 실험을 진행하였으며, 그 결과는 Figure B.8에 정리되어 있습니다.

실험 결과를 보면, PINN은 기존 수치 해석 방법과 비교했을 때 유사한 해를 도출할 수 있었습니다. 특히, 시간 축을 따라 변화하는 데이터를 사용하지 않고도 PDE의 물리 법칙을 반영하여 충격파 패턴을 정확하게 예측할 수 있었으며, 이를 통해 PINN이 이산 시간 모델에서도 효과적으로 활용될 수 있음을 확인하였습니다.

4-3. 물리 방정식 발견(Data-Driven Discovery of PDEs) 실험

마지막으로, PINN을 이용해 물리 방정식을 직접 찾아내는 실험을 살펴보겠습니다. 앞선 실험과 달리, 여기서는 기존에 알려진 방정식을 해결하는 것이 아니라, 데이터만 가지고 PDE를 추론하는 방식을 실험하였습니다. 대표적인 예제로 Navier-Stokes 방정식과 Korteweg-de Vries(KdV) 방정식을 사용하였습니다.

먼저, Navier-Stokes 방정식 실험에서는 유체의 속도장 데이터를 기반으로 압력장 및 계수를 추론하는 실험을 진행하였으며, 그 결과는 Figure 4에 정리되어 있습니다.

실험 결과를 보면, PINN은 제한된 데이터만으로도 Navier-Stokes 방정식의 계수를 정확하게 추론할 수 있었습니다. 기존 방법과 비교했을 때 더 적은 데이터로도 좋은 성능을 보였습니다.

다음으로, KdV 방정식 실험에서는 높은 차수 미분항이 포함된 방정식을 학습하는 실험을 진행하였으며, 실험 결과는 Figure 5에 정리되어 있습니다.

KdV 방정식 실험에서도 PINN은 기존 방법과 비교했을 때 유사한 형태의 PDE를 추론할 수 있었습니다. 특히, 물리 법칙을 반영하지 않은 기존의 순수 신경망 모델보다 훨씬 정확한 결과를 보였으며, 이를 통해 PINN이 데이터 기반으로 새로운 PDE를 발견하는 데 활용될 수 있음을 확인하였습니다.

5. 결론

이번 포스팅에서는 Physics-Informed Neural Networks(PINNs) 논문을 리뷰하며, 기존 데이터 기반 신경망의 한계를 어떻게 극복할 수 있는지 살펴보았습니다. PINN은 신경망이 단순히 데이터를 학습하는 것이 아니라, 물리 법칙을 직접 반영하여 더 적은 데이터로도 높은 성능을 내는 모델입니다. 이를 위해 손실 함수에 PDE(편미분방정식)의 제약 조건을 포함하고, 자동 미분(Automatic Differentiation)을 활용하여 물리 법칙을 학습하는 방식을 사용합니다.

먼저, 기존의 순수 데이터 기반 신경망이 갖는 문제점부터 살펴보았습니다. 기존 모델들은 대량의 데이터가 필요하며, 물리 법칙을 반영하지 않기 때문에 현실적인 문제를 해결할 때 한계를 보였습니다. 또한, 해석 가능성이 부족하여 모델의 예측이 신뢰하기 어려운 경우가 많았습니다.

이를 해결하기 위해 PINN이 제안되었으며, PINN의 학습 방식과 주요 개념을 정리했습니다. PINN은 데이터 손실(Data Loss)과 물리 법칙 손실(Physics Loss)을 동시에 최소화하여 PDE의 해를 찾는 방식으로 학습됩니다. 기존 딥러닝 모델과 달리, 주어진 데이터를 넘어 일반화가 가능하며, 더 적은 데이터로도 신뢰성 있는 예측이 가능합니다. 또한, 물리 방정식 자체를 발견하는 용도로도 활용될 수 있어 응용 가능성이 높습니다.

논문에서 수행한 실험 결과를 통해 PINN의 효과를 확인할 수 있었습니다. 연속 시간 모델 실험에서는 PINN이 Allen-Cahn 방정식을 정확히 해결할 수 있음을 보여주었고, 이산 시간 모델 실험에서는 Burgers 방정식의 충격파 패턴을 성공적으로 예측할 수 있었습니다. 또한, 물리 방정식 발견 실험에서는 PINN이 데이터를 기반으로 PDE 자체를 추론할 수 있다는 점이 확인되었습니다.

이러한 결과를 통해 PINN이 기존 신경망보다 더 적은 데이터로도 높은 성능을 보이며, 물리 법칙을 반영하여 일반화 성능이 뛰어난 모델이라는 점을 확인할 수 있었습니다. 특히, 자율 주행, 재료 과학, 기후 예측, 유체 역학 등 다양한 분야에서 PINN을 활용할 수 있는 가능성이 열려 있습니다.

하지만 PINN이 완벽한 모델은 아닙니다. 여전히 몇 가지 해결해야 할 한계가 존재합니다. 첫째, 고차원 문제에 대한 확장성이 아직 충분히 연구되지 않았습니다. 고차원 PDE 문제에서는 PINN의 학습이 어려울 수 있으며, 이 경우 기존의 수치 해석 기법과의 융합이 필요할 수 있습니다. 둘째, 학습 속도와 최적화 문제도 중요한 과제입니다. PINN은 기존 신경망보다 계산량이 많고, 최적화가 쉽지 않기 때문에 학습 속도를 개선하는 연구가 필요합니다.

그럼에도 불구하고, PINN은 기존의 데이터 기반 딥러닝 모델이 해결하지 못했던 문제를 새로운 방식으로 접근하는 강력한 도구입니다. 앞으로의 연구를 통해 PINN의 한계를 극복하고, 더 다양한 분야에서 활용될 수 있기를 기대합니다.

6. 참고 자료

• PINN Paper

Ffightingseok